2018年6月4日 星期一

賭博數學入門 第3堂 講義連習題


被莊家永遠隱藏的機率原來很易計?
一張凳、一本簿、一枝筆,便可以簡單運算?


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Script

要知道某投注方法會否為你帶來長期穩定盈利,你要靠EV;而EV的計算,則涉及賠率(Odds)和機率(Probability)。一般賭局,賭率無論是固定,抑或不固定,都必定會顯示(例如球賽主勝、賽馬獨贏、六合彩派彩等);然而,勝負機率卻永遠隱藏

計算機率可以非常複雜,看過賽馬博彩經典名著《計得精彩》的,相信都會深深感受得到。但計算機率亦可以非常簡單,有些連小學作業都有教。

為什麼又可以簡單?又可以複雜呢?這要由「機率是什麼」說起。

首先,機率就像重量、長度、價錢等,是一個量度值。當你想知道自己的體重,你會站在電子磅;當你想知道自己的身高,你會用尺量度;當你想知過大海船票幾貴,你會查一查價錢;而當你想知道一件事情發生的可能性,你便要計算機率。
那麼,有什麼事你會想知它的可能性呢?擲一粒骰「擲到七點」的可能性,你會想計算嗎?不。因為擲一粒骰「必定」不會擲到七點。那麼,擲骰擲到整數的可能性,你又會想計算嗎?不。因為擲骰「必定」擲出整數。由此可見,當你已經知道問題的答案是鐵定的YESNO時,你不會問可能性。換言之,當你不肯定某事情是YES還是NO時,你才會想窺探可能性。

最家傳戶曉的例子,非擲毫莫屬:究竟下一回是公定字呢?

雖然機率是數學之中的一個範疇,但機率在語言之中也佔了一席位,縱使未曾學過機率,都會以「五十五十」來描述擲毫的結果,即擲到公和擲到字的機率均是百分之五十(50%)。



對有分數概念的則會以「二份之一」描述之。兩者相通,因為一整份是100%,各分一半自然是各佔50%,亦是兩份之中取一份,二份之一也

分數概念對機率非常便利,將虛無飄渺的機率圖像化,轉化成「切蛋糕」的情況--由於你深信擲公和字的可能性均等,公和字就像一對雙胞胎,要吃相同份量的蛋糕,身為父母你便得把蛋糕一分為二,一份給公,一份給字,二份之一也。

此平平無奇的「二份之一」概念,更足以延伸至更多情況:

擲一粒骰子,擲得一點的機率是多少?

由於你深信一粒骰子六面的可能性均是相同,它們就像六胞胎平分生日蛋糕,你把蛋糕一分為六,一仔、二仔、三仔、四仔、五仔和六仔各取一份。擲得一點的機率,六份之一是也。

只要看得穿多少胞胎在分蛋糕,便能運算出機率。

雖然擲毫的機率十分顯淺,顯淺得令不少自稱患有「數學恐懼症」的人也會對機率產生興趣,然而,由擲毫和擲骰引起的誤解,同時惹來不少人放棄了機率,甚至徹底訴誅運氣鬼神之說。最常見的誤解是:

「擲公字的機率是二份之一,那麼,要是第一局己擲到了一次公,下一局將必定擲到字嗎?」

當然不是!否則每次擲硬幣不就只會公字公字公字……梅花間竹地出現嗎?這是天方夜譚吧。再者,若「必定」梅花間竹地出現,機率該是100%,這一點也抵觸了「二份之一」的說法。

「既然二份之一的機率,並不代表能夠預測下一局,對賭客來說又有什麼意思?」

答案很簡單,就是用來計算EV,預知定然的長遠結果。



明白了機率的意思和功用之後,接下來正式講解機率的3大運算方法:

1.  窮舉法(Exhaustive Method):一次隨機事件

先前提過,基本的機率運算,是平均分蛋糕的遊戲。由此可見,「有幾胞胎」以及「拿幾件蛋糕」都是舉足輕重的問題。幸好,這種「有幾」的問題,都只是嬰孩學「數手指」(即數數目)可以應付的問題。

由擲公字的例子起步,全部的情況有「公」和「字」,我們就這樣數:

「公……第一個;字……第二個。總共兩個。」

即問題涉及雙胞胎,將蛋糕分成兩份。

如想知擲得「公」的機率,我們又再數過:

「公……第一個。總共一個。」

可見「公」的機率便是「兩份之」中的「一」份,二份之一也。

擲骰子亦同樣,這樣數全部的情況:

「一點……第一個;兩點……第兩個;三點……第三個;四點……第四個;五點……第五個;六點……第六個。總共六個。」

即問題涉及六胞胎,將蛋糕分成六份。

如想知擲得「雙數」(即246)的機率,我們又再數過:

「兩點……第一個;四點……第二個;六點……第三個。總共三個。」

可見「雙數」的機率便是「六份之」中的「三」份,六份之三也。



兩題的答案,分別是「二份之一」( )和「六份之三」( ),究竟誰大誰小呢?欲比較分數,可以先將它化簡,繼續直接觀察,或者相減或相除。然而,分數的觸覺並非人皆有之,曾有趣聞說超過一半的美國受訪者誤以為「四份之一」比「三份之一」大。由此,我建議採取較「平易近人」的百份率(%),換算方法是--將分子除以分母,再乘以100,便是百份之多少,即多少%了。


以上述的結果為例,先把12,再乘以100,得出50,即擲得公的機率為 50%;把3除以6,再乘以100,得出50,即擲得雙數的機率同為50%。平分秋色,「一樣那麼可能」。

由這兩個例子得知:只要能夠準確細數可能發生的情況(我稱之為懂得數手指)便能夠計算基本的機率了。

當然,懂得數手指並不等如一定數得清,當數量太多的時候,例如打麻雀(144隻牌)一起手便食糊(又稱食天糊)的機率,逐個數並非明智之舉。雖然「理論上」只要有一位有無比耐性的人,的確能夠把所有可能性徹底列出,但整個過程也拖太久了吧?

因此,數數目亦應該要有聰明的方法。
2.  列表法(Tabulation):兩次隨機事件

以擲骰子為例,擲一粒骰當然能夠「數手指」,因為只得6面。可是,如果擲兩粒骰呢?總有多少個可能的結果?

「第一粒骰一點、第二粒骰一點……一個;第一粒骰一點、第二粒骰兩點……兩個;第一粒骰一點、第三粒骰三點……三個……」給些少耐性,最終便會得知,總共有36個可能發生的結果。

列出來當然可以,但無可否認實在太煩了,而煩,亦自然代表較易出錯。究竟有沒有什麼方法可以將情況整齊地表達出來呢?



日常生活中,有一種表達方法,很值得參考,就是馬經表達「連贏」賠率的列表法。由於「連贏」是要預測單一賽事的冠軍和亞軍馬匹,因此會是兩個馬匹號碼互相配搭,例如「一號馬匹」搭「六號馬匹」,情形就像2粒骰的點數,「一點」加「六點」。


由「馬經作圖法」可以將擲兩粒骰的情況歸納如下:


一點
兩點
三點
四點
五點
六點
一點






兩點






三點






四點






五點






六點







每一格分別代表一個情況,例如橙色的格子代表「啡色的骰子五點,綠色的骰子三點」。   由此可見,擲2粒骰總共有36個可能結果。換言之,將蛋糕切成36份。

如問擲得總點數為10的機率,使用「馬經作圖法」答案一目了然:


一點
兩點
三點
四點
五點
六點
一點






兩點






三點






四點






五點






六點







非常明顯,共有3個格子,是兩骰點數相加為十(分別是(4,6)(5,5)(6,4))因此這三十六胞胎,現在有三胞胎說要吃蛋糕了,在「36份之」中吃了「3」份,答案是「36份之3」( )。(試利用公式把它轉成%吧!)

值得留意的是,這招「馬經作圖法」有一個值得每次使用之前都要小心思索的地方:

試想想,現有6張卡,分別畫了骰子的6面,現在你隨機抽取兩張,請問2張卡的點數相加為十的機率是多少?


很多人會照舊作答「36份之3」,原因是問題只是將骰子變成卡片,情況不甚改變,而且,使用「馬經作圖法」會得出了一幅相同的列表:


一點
兩點
三點
四點
五點
六點
一點






兩點






三點






四點






五點






六點







可惜這是錯的,答案錯,列表也是錯的,錯在算少了一著:擲骰子可以擲到相同數字,例如2粒骰都是一點,但抽卡並不能抽到相同數字呢!卡片只得1張,你怎樣也不能抽到2張都是一點。因此,列表應修正如下:


一點
兩點
三點
四點
五點
六點
一點






兩點






三點






四點






五點






六點







灰色代表根本不可能發生的情況,即不存在的胞胎。根據這個修正後的列表,蛋糕應平分為30份,而不是36份。符合相加為十的結果,亦不是3個,而是2個,因為根本沒可能抽出2張都是五點的卡片。有見及此,修正後的答案為「30份之2」( )。(試利用公式把它轉成%吧!)



3.  樹狀圖(Tree Diagram):兩次或以上隨機事件

雖然列表可以將可能性整齊地列出來,但列表也有它的局限之處,就是只能解決兩次隨機事件。如有三次或以上隨機事件,則要靠樹狀圖了。

以擲毫為例,如連擲三枚硬幣,擲得至少一次公的話,你便可以獲得8000元,這個遊戲值得花5000元去玩嗎?

首先,你得知道勝出這賭局的機率,即擲三枚硬幣能夠擲得至少一次公的機率。由於這涉及三次隨機事件,因此無法使用列表法,非用樹狀圖不可:

樹狀圖就像旅行路線圖,每一條路都是一個行程,每一個行程就是每一個可能性,不妨逐個寫出來看看:


由圖所示,這年遊戲總共有8個結局,而當中有7個結局能使你獲得8000元獎金,由此使用「分蛋糕」概念,你勝出遊戲的機率是8份之7,換算成百分率,即87.5%

賠率則這樣計算:以5000元當作1注,如得勝則淨贏3000元,即贏3000÷5000注,又即0.6注。因此,你若參與這個賭局,你的EV = 0.6 × 87.5% - 12.5% = 40%,是一個正數。長賭下去,你將會獲取40%的純利,當然值得參與賭局。



Case Study

在德州撲克(Texas hold'em)的賭局中,起初每位玩家均會獲派兩張牌,經過今堂,你已經有能力自行計算兩張牌為對子(Pair)的機率,接下來我將會用齊三個方法計算:

1.  窮舉法

雖然派發兩張牌是兩次隨機事件,但境由心轉,也可以視之為一次過派兩張給你,所以當作一次隨機事件。如是者,兩張牌的可能性有:(列出時由小至大)

」一共78個組合。
如此類推,還有:
」一共78個組合:
」一共78個組合:
」一共78個組合:

」一共169個組合。如此類推,還有:
如此類推,還有:
」一共169個組合:
」一共169個組合:
」一共169個組合:
」一共169個組合:
」一共169個組合:

總共78 + 78 + 78 + 78 + 169 + 169 + 169 + 169 + 169 + 169 = 1326個組合。




1326個組合之中,共有78Pair

根據「切蛋糕」法則,派得一對Pair的機率是78 ÷ 1326 × 100,即5.88 %

2.  列表法


A
2
A ♣
Q♠
K♠
(52)
A








2
















A♣
















Q♠








K♠








(52)









寫齊5252欄實在太繁複,然而細節不清,但精神長存。由此列表可見,總共有52 × 52 – 52 = 2652個組合。

2652個組合之中,共有52 × 3 = 156個組合為Pair

根據「切蛋糕」法則,派得一對Pair的機率是156 ÷ 2652 × 100,即5.88 %




3.  樹狀圖


與列表法同樣,細節不清,但精神長存,第一個階段共有52條「樹枝」,然後每一條樹枝再分拆51條樹枝,由此可見,總共有52 × 51 = 2652條「旅行路線」。

而第一個階段每一隻牌能夠配搭3個可能的Pair,因此共有52 × 3 = 156條「旅行路線」。

根據「切蛋糕」法則,派得一對Pair的機率是156 ÷ 2652 × 100,即5.88 %

Summary

l   賭局機率通常都是隱藏的。
l   機率是一個量度值,量度不肯定的事件發生的可能性。
l   機率的數值以「分蛋糕」方法計算「幾份之幾」。
l   將機率換算成百分率的方法為:分子 ÷ 分母 × 100 (%)
l   基本的機率運算方法有窮舉法、列表法及樹狀圖。

Terminology

l   窮舉法(Exhaustive Method
l   列表法(Tabulation
l   樹狀圖(Tree Diagram

Concept Check

l   一般賭局不會把賠率寫出來。
TRUE / FALSE

l   明天要麼天晴,要麼下雨,因此天晴的機率是二份之一。
TRUE / FALSE

l   六合彩要麼中頭獎,要麼不中頭獎,因此中頭獎的機率是二份之一。
TRUE / FALSE

l   擲兩枚硬幣,擲得一公一字的機率是二份之一。
TRUE / FALSE

l   擲三枚硬幣,擲得兩公一字的機率是八份之三。
TRUE / FALSE

Next Lesson
懂得加減乘除的人就是賭場機率專家?

第三堂完

Concept Check答案: FFFTT

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